Was ist eine Äquivalenzumformung?

Damit eine Umformung eine Äquivalenzumformung ist, muss gelten:

• Es gibt eine Umkehrung der Umformung (inverse Operation), durch die die Umformung rückgängig gemacht werden kann.
• Die Lösungsmenge der Gleichung bzw. Ungleichung bleibt unverändert.

Wie zeigt man, dass eine Äquivalenzumformung gemacht wurde?

• Äquivalenzumformungen werden meist mit einem Pfeil (\Leftrightarrow) gekeinnzeichnet.
• Die jeweilige Rechenoperation, die du machst, wird mit einem senkrechten Strich (\vert) gekennzeichnet.

Beispiel

Die Gleichung x +4 = 10 ist äquivalent zu den Gleichungen 2x +8 = 20 und x  = 6 .

Man schreibt:

x +4 = 10 \Leftrightarrow 2x +8 = 20 \Leftrightarrow x  = 6 oder

\begin{array}{lrl} &x +4 =& 10 \\ \Leftrightarrow  &2x +8 =& 20 \\ \Leftrightarrow  &x  =& 6 \end{array}

Welche Äquivalenzumformungen gibt es?

Für Gleichungen sind die folgenden Umformungen erlaubt:

• Du darfst auf beiden Seiten der Gleichung denselben Term addieren.
• Du darfst auf beiden Seiten der Gleichung denselben Term subtrahieren.
• Du darfst beide Seiten der Gleichung mit demselben Term multiplizieren (der Term darf nicht 0 sein).
• Du darfst beide Seiten der Gleichung mit demselben Term multiplizieren (der Term darf nicht 0 sein).
• Zusatz für Expertinnen und Experten: Anwendung einer injektiven Funktion auf beiden Seiten.

Worauf solltest du achten?

Deine Rechenoperationen müssen immer auf beiden Seiten durchgeführt werden.

Beispiel 1

\begin{array}{lrll} &x+4=&10 & \; \vert \; \cdot 2 \\ \Leftrightarrow &2 \cdot (x+4) =& 2 \cdot 10 & \\ \Leftrightarrow &2x + 8 =& 20 & \end{array}

Beispiel 2

\begin{array}{lrll} &2x+6=&10&  \; \vert \; : 2 \\ \Leftrightarrow  &(2x+6):2 =& 10:2& \\ \Leftrightarrow &x + 3 =& 5 &\end{array}

Die Rechenoperation wird also immer auf den gesamten Term angewendet. Wenn wir Terme addieren oder subtrahieren fällt uns das nicht auf, aber bei der Multiplikation und Division passiert dies häufig.

Vorgangsweise

Es bietet sich meistens an, dass ähnliche Ausdrücke zuerst durch Addition und Subtraktion auf dieselbe Seite der Gleichung gebracht wird.

Beispiel

Das Beispiel ist wirklich sehr ausführlich. Wenn man sieht, dass etwas wegfällt, könnte man es natürlich auch gleich weglassen, aber es sollte einmal ersichtlich sein, was passiert.

\begin{array}{lrll} &x+4=& 10 -2x& \; \vert \; + 2x \\ \Leftrightarrow &x+4 + 2x =& 10 -2x +2x &\\ \Leftrightarrow &\underbrace{x+2x}_{3x} + 4 =& 10 \; \underbrace{-2x +2x}_{0}& \\ \Leftrightarrow &3x + 4 =& 10 & \; \vert \; -4 \\ \Leftrightarrow &3x + \underbrace{4 -4}_{0}=& \underbrace{10 -4}_{6}& \\ \Leftrightarrow &3x =& 6 &\; \vert \; :3 \\ \Leftrightarrow &3x:3 =& 6:3& \\ \Leftrightarrow & x =& 2&  \end{array}

Die Lösungsmenge ist: \mathbb{L} = \{2\}.

Besonderheiten

Angenommen ihr habt die Gleichung x^2 = x gegeben. Darf ich nun einfach durch x dividieren.

Die Antwort lautet: Natürlich, aber es muss gelten, dass  x \neq 0 , da man niemals durch 0   divideren darf. Diesen Fall muss man getrennt untersuchen.

1. Fall:  x \neq 0 .

x^2 = x \; \vert \; : x\ \Leftrightarrow x = 1.

2. Fall:  x = 0 .

x \neq 0 ist selbst auch eine Lösung, da 0^2 = 0 ist.

Die Lösungsmenge ist also \mathbb{L} = \{0,1\}.