Gleichungen aufstellen und lösen

Beispiel 1

In einer Schule gibt es insgesamt 91 Lehrkräfte (Lehrerinnen und Lehrer). Es gibt 9   Lehrer mehr als Lehrerinnen. Stelle passende Gleichugnen auf.

Zusatz: Wie viele Lehrer und wie viele Lehrerinnen arbeiten an der Schule?

Schritt 1: Variablen definieren

x : Anzahl der Lehrer

y : Anzahl der Lehrerinnen

Schritt 2: Gleichung(en) aufstellen

Insgesamt gibt es 91 Lehrkräfte, also gilt:

x+y= 91   (Gleichung 1)

Es gibt 9 Lehrer mehr als Lehrerinnen:

Da es mehr Lehrer als Lehrerinnen gibt, gilt sicherlich: x > y . Ich muss also zu den Lehrerinnen y etwas dazuzählen, damit sie gleich viele wie die Lehrer ergeben. Dies führt zu:

x = 9 + y (Gleichung 2)

Schritt 3: Überprüfen der Gleichungen

Gleichung 1: Wir müssen diese Gleichung nicht überprüfen, das ist klar.

Gleichung 2: Es gibt 9 Lehrer mehr als Lehrerinnen.

Wir suchen uns ein Beispiel: y könnte 1 sein und x könnte 10 sein . Wir überprüfen, ob unsere Gleichung für dieses Beispiel passt:

\begin{array}{rl} x =& 9 + y \; \vert \; \text{Einsetzen der Werte} \\ 10 =& 9 + 1 \\ 10 =& 10 \; \checkmark \end{array}

Zusatz: Lösen der Gleichungen

Da wir ja aus Gleichung 2 wissen, dass x = 9 + y (Gleichung 2), könnten wir das in Gleichung 1 einsetzen und nach y auflösen:

\begin{array}{lrll} &\underbrace{x}_{ x = 9 + y }+y=& 91& \\\Rightarrow &9 + y +y =& 91& \\ \Leftrightarrow &9 + 2y =& 91& | -9 \\ \Leftrightarrow &2y =& 82& | :2 \\ \Leftrightarrow &y =& 41& \end{array}

Es gibt also 41 Lehrerinnen. Da Lehrer und Lehrerinnen zusammen 91 ergeben müssen, also x+y=91, muss x = 50 ergeben.

Es gibt 50 Lehrer und 41 Lehrerinnen.

Beispiel 2

In einer Schüssel 280 Lose. Es gibt 6-mal soviele Nieten (Lose, die nicht gewinnen) wie Gewinnlose. Stelle passende Gleichungen auf.

Zusatz: Wie viele Gewinnlose und Nieten gibt es?

Schritt 1: Variablen definieren

x : Gewinnenlose

y : Nieten

Schritt 2: Gleichung(en) aufstellen

Insgesamt gibt es 280 Lose, also gilt:

x + y = 280 (Gleichung 1)

Es gibt 6-mal soviele Nieten (Lose, die nicht gewinnen) wie Gewinnlose.

Es gibt also mehr Nieten als Gewinnlose. Es gilt also: y > x . Damit eine Gleichung daraus wird, muss x also größer werden, genauer gesagt 6-mal so groß:

y = 6 \cdot x (Gleichung 2)

Schritt 3: Überprüfen der Gleichungen

Gleichung 1: Wir müssen diese Gleichung nicht überprüfen, das ist klar.

Gleichung 2: Es gibt 6-mal soviele Nieten(Lose, die nicht gewinnen) wie Gewinnlose.

Nehmen wir an, es gibt 10 Gewinnlose, dann muss es 6-mal soviele, also 6 \cdot 10 = 60 , Nieten geben.

Wir überprüfen, ob unsere Gleichung für dieses Beispiel passt:

\begin{array}{rll} y =& 6 \cdot x &\; \vert \; \text{Einsetzen der Werte} \\ 60 =& 6 \cdot 10 &\\ 60=& 60&\; \checkmark \end{array}

Zusatz: Lösen der Gleichungen

Da wir ja aus Gleichung 2 wissen, dass y = 6 \cdot x (Gleichung 2), könnten wir das in Gleichung 1 einsetzen und diesmal nach x auflösen:

\begin{array}{lrll} & x+\underbrace{y}_{y = 6 \cdot x} =& 280& \\ \Rightarrow & x + 6x =& 280& \\ \Leftrightarrow & 7x =& 280&  \; \vert \; :7 \\ \Leftrightarrow & x =& 40& \end{array}

Es gibt also 40 Gewinnlose. Da Gewinnlose und Nieten zusammen 280 ergeben müssen, also x+y=280, muss y = 240 ergeben.

Es gibt 40 Gewinnlose und 240 Nieten.

Probe:

Gibt es wirklich 6-mal soviele Nieten wie Gewinnlose? Ja, denn 40 \cdot 6 = 240 \; \checkmark .

Was ist wichtig?

Da beim Aufstellen von Gleichungen sehr schnell Fehler passieren, ist es ratsam, sich zunächst zu überlegen, welche Größe die größere und welche die kleinere ist. Dadurch passieren weniger Fehler, vor allem, wenn im Text Ausdrücke wie mehr, weniger, doppelt, dreifach, ein Drittel, …vorkommen. Es gilt dann immer:

• Zur kleineren Größe muss etwas dazugezählt werden.
• Die kleinere Größe muss mit einer Zahl >1 multipliziert werden.
• Von der größeren Größe muss etwas abgezogen werden.
• Die größere Größe muss durch eine Zahl >1 dividiert werden.