Eigenschaften der ganzen Zahlen

• Es gibt keine kleinste und keine größte ganze Zahl.
• Zu jeder ganzen Zahl n gibt es einen Nachfolger n + 1, welcher wieder in der Menge der ganzen Zahl liegt.
• Zu jeder ganzen Zahl n  gibt es einen Vorgänger n - 1, welcher wieder in der Menge der ganzen Zahl liegt.
• Für die ganzen Zahlen gibt es folgende Bezeichnungen:

\mathbb{Z} = \{\dots, -5,-4,-3,-2,-1, 0,1,2,3,4,5, \dots \} \quad (“Die Menge aller ganzen Zahlen”)
\mathbb{Z}_g = \{\dots, -8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8 \dots \} \quad (“Die Menge aller geraden ganzen Zahlen”)
\mathbb{Z}_u = \{\dots, -9,-7,-5,-3,-1, 1,3,5,7,9 \dots \} \quad (“Die Menge aller ungeraden ganzen Zahlen”)

Alle natürlichen Zahlen sind in den ganzen Zahlen enthalten. Man schreibt: \quad \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}

Man könnte auch sagen: Alle nichtnegativen ganzen Zahlen sind die natürlichen Zahlen.

Abgeschlossenheit der ganzen Zahlen

Die ganzen Zahlen sind bezüglich der Addition, Subtraktion und Multiplikation abgeschlossen. Dies bedeutet:

Wenn du zwei ganze Zahlen (egal welche) zusammenzählst oder voneinander abziehst, bekommst du wieder eine ganze Zahl heraus.

Wenn du zwei ganze Zahlen miteinander Mal nimmst, ist das Ergebnis wieder eine ganze Zahl.

Sind die ganzen Zahlen bezüglich der Division abgeschlossen? Die Frage kann man auch ohne die mathematische Fachsprache formulieren: Wenn du eine ganze Zahl a durch eine ganze Zahl b ( b darf nicht 0 sein) dividerst, bekommst du dann immer eine ganze Zahl raus?

Die Antwort lautet: Nein!

Angenommen a = 2 und b=3 . Dann ergibt \frac{a}{b} =\frac{2}{3} = 0,\dot{6} . Das Ergebnis ist keine ganze Zahl. Deswegen sagt man auch: Die ganzen Zahlen sind bezüglich der Division nicht abgeschlossen.