Lineare Gleichungen

Was sind lineare Gleichungen?

Lineare Gleichungen stellen eine besondere Art von Gleichungen dar, jede vorkommende Variable in höchstens 1. Potenz vorkommt.

Was ist damit gemeint? Angenommen ihr habt eine Gleichung, welche die Variablen x,y,z beinhaltet. Dann dürfen bei linearen Gleichungen nur

• x,y,z ,
• Vielfache davon (1.1x, 2.2 x,3.5 x,4.01 x, \dots )
• und (reellen Zahlen) vorkommen.

Nicht erlaubt sind

• höhere Potenzen (x^2, x^3, x^{\frac{1}{2}}, \dots ) und
• Produkte von Variablen  (x \cdot y, x \cdot y \cdot z, x^2 \cdot y, \dots) .

Wie stellt man lineare Gleichungen auf?

Am besten zeigt man das anhand eines Beispiels, welches auch eine Falle beinhaltet.

In einem Bioladen kostet eine Flasche Olivenöl 7 €. Das ist um 2 € mehr als im Supermarkt.

Gib eine Gleichung an, welche den Preis des Olivenöls im Bioladen und im Supermarkt in Beziehung setzt.

1. Schritt: Wir definieren Variablen

Da wir den Preis des Olivenöls im Bioladen und im Supermarkt in Beziehung setzen sollen, geben dafür auch gleich passende Variablen an:

B : Preis im Bioladen

S : Preis im Supermarkt

2. Schritt: Gleichung aufstellen

Im Text steht sinngemäß: Im Bioladen B kostet das Olivenöl 2 € mehr als im Supermarkt S . Viele sehen das Wort mehr und denken, dass man zu  B was dazuzählen muss. Macht man dies so, dann erhält man:

B + 2 = S \quad Achtung: Falsch !

Im Bioladen kostet das Olivenöl mehr als im Supermarkt. Es gilt also:

B > S

Eine Gleichung hat die Eigenschaft, dass links und rechts vom Gleichheitszeichen derselbe Wert stehen muss. Man muss also zum Preis des Supermarktes S 2 € hinzugeben

B  = S + 2 \quad Richtig!

oder man zieht vom Preis des Bioladens B 2 € ab, damit man denselben Preis wie im Supermarkt erhält.

B - 2 = S  \quad Richtig!

Es gilt: Nicht einfach den Text in die mathematische Sprache übersetzen – dies führt zu falschen Ergebnissen.

Aus diesem Grund sollte man als letzten Schritt immer eine Kontrolle durchführen, ob Text und Gleichung zusammenpassen.

3. Schritt: Kontrolle – Passt Text und Gleichung zusammen?

Ihr könnt eure Kenntisse über das Aufstellen von Gleichungen sofort im Quiz überprüfung und üben.