Eigenschaften der rationalen Zahlen \mathbb{Q}

Alle Zahlen, die sich

• als Bruch (Zähler ist eine ganze Zahl, Nenner ist eine ganze Zahl außer Null)
• als Dezimalzahl mit endlich vielen Dezimalstellen oder
• als unendliche periodische Dezimalzahl darstellen lassen

nennt man rationale Zahlen \mathbb{Q} .

Zwischen zwei rationalen Zahlen gibt es unendlich viele rationale Zahlen.

Aus der ersten Eigenschaften ergibt sich die mathematische Definition für die rationalen Zahlen \mathbb{Q} :

\mathbb{Q} = \{ \frac{a}{b} \, | \, a \in \mathbb{Z} \; \text{und} \; b \in \mathbb{Z}\setminus \{0\} \}

Ein Beispiel für eine rationale Zahl:

• \frac{2}{3} (Darstellung als Bruch)
• 0,\dot{6}  = 0,666666 \dots (Darstellung als Dezimalzahl)

Abgeschlossenheit der rationalen Zahlen

Die rationalen Zahlen sind bezüglich der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division abgeschlossen. Dies bedeutet:

Wenn du zwei ganze Zahlen (egal welche) zusammenzählst oder voneinander abziehst, bekommst du wieder eine ganze Zahl heraus.

Wenn du zwei ganze Zahlen miteinander Mal nimmst oder durcheiandner dividierst , ist das Ergebnis wieder eine rationale Zahl.

Jede natürliche Zahl ist ja eine ganze Zahl. Und jede ganze Zahl lässt sich als Bruch schreiben. Deswegen ist jede ganze Zahl auch eine rationale Zahl. In mathematischer Fachsprache gilt also: \mathbb{N} \subset  \mathbb{Z} \subset  \mathbb{Q}

Zwischen zwei rationalen Zahlen gibt es unendlich viele rationale Zahlen. Man sagt dann, dass die Menge der rationalen Zahlen eine dichte Menge ist.

Irrationale Zahlen \mathbb{I}

Das Problem an den rationalen Zahlen ist, dass sie nicht abgeschlossen bezüglich des Wurzelziehens sind. Betrachtet man die Lösung der Gleichung x^2 = 2, so stellt man fest, dass diese keine Eigenschaften der rationalen Zahlen hat.

All jene Zahlen, die sich nicht als Bruch oder endliche/ unendlich periodische Dezimalzahl darstellen lassen, nennt man irrationale Zahlen \mathbb{I} . Keine irrationale Zahl ist eine rationale Zahl. \mathbb{Q}   und \mathbb{I} haben also keine Zahlen gemeinsam. In mathematischer Fachsprache sieht dies so aus: \mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \{\}

Beispiel für irrationale Zahlen sind:

• \pi = 3,14159 \dots
• \sqrt{2} = 1,41421 \dots
• e = 2,71828 \dots

Alle diese Zahlen haben undendlich viele Nachkommastellen, welche nicht periodisch sind.

Wichtige Beispiele:

• \frac{\sqrt{2}}{2} ist keine rationale Zahl (also eine irrationale Zahl), weil es nicht möglich ist, diese Zahl so umzuformen, dass Zähler und Nenner ganze Zahlen sind.
• \frac{2\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} ist ein rationale Zahl, da diese Zahl gekürzt \frac{2\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2 }{1} = 2 ergibt.