Algebra und Geometrie

Addition und Subtraktion von Vektoren

Vektoren werden addiert und subtrahiert, indem man die jeweiligen Komponenten addiert oder subtrahiert.

Addition im \mathbb{R}^2 und \mathbb{R}^3

Die Komponenten werden jeweils zeilenweise zusammengezählt (addiert). Es ist wichtig, dass auf die Vorzeichen der jeweiligen Komponenten geachtet wird.

\left( \begin{matrix}{\color{red}{ 2}}\\ {\color{blue}{3}}\end{matrix}\right) + \left( \begin{matrix}{\color{red}{ 5}}\\ {\color{blue}{-2}}\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}{\color{red}{ 2 + 5}}\\ {\color{blue}{3 + (-2)}}\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}{\color{red}{ 7}}\\ {\color{blue}{1}}\end{matrix}\right)   

 

\left( \begin{matrix}{\color{red}{ 2}}\\ {\color{blue}{3}} \\ {\color{orange}{4}}\end{matrix}\right) + \left( \begin{matrix}{\color{red}{ 5}}\\ {\color{blue}{-2}} \\ {\color{orange}{7}} \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}{\color{red}{ 2 + 5}}\\ {\color{blue}{3 + (-2)}} \\ {\color{orange}{4 + 7}}\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}{\color{red}{ 7}}\\ {\color{blue}{1}} \\ {\color{orange}{11}} \end{matrix}\right)   

 

Subtraktion im \mathbb{R}^2 und \mathbb{R}^3

Es gilt auch hier wieder: Die Komponenten werden zeilenweise subtrahiert. Es gilt auf die Vorzeichen der Komponenten in Kombination mit dem Minus der Subtraktion zu achten.

\left( \begin{matrix}{\color{red}{ 2}}\\ {\color{blue}{3}}\end{matrix}\right) - \left( \begin{matrix}{\color{red}{ 5}}\\ {\color{blue}{-2}}\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}{\color{red}{ 2 - 5}}\\ {\color{blue}{3 -  (-2)}}\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}{\color{red}{ -3}}\\ {\color{blue}{5}}\end{matrix}\right)   

 

\left( \begin{matrix}{\color{red}{ 2}}\\ {\color{blue}{3}} \\ {\color{orange}{4}}\end{matrix}\right) - \left( \begin{matrix}{\color{red}{ 5}}\\ {\color{blue}{-2}} \\ {\color{orange}{7}} \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}{\color{red}{ 2 - 5}}\\ {\color{blue}{3 - (-2)}} \\ {\color{orange}{4 - 7}}\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}{\color{red}{ -3}}\\ {\color{blue}{5}} \\ {\color{orange}{-3}} \end{matrix}\right)   

 

Multiplikation

Bei der Multiplikation unterscheidet man zwei Arten:

• Multiplikation eines Vektors mit einer (reellen) Zahlen (Skalar)
• Multiplikation eines Vektors mit einem Vektor (Skalarprodukt)

 

Multiplikation eines Vektors mit einer (reellen) Zahl

Wird ein Vektor mit einer (reellen) Zahl (Skalar) multipliziert, so ist das Ergebnis wieder ein Vektor. Dabei wird jede Komponente des Vektors mit dem Skalar multipliziert. Allgemein gilt mit einer reellen Zahl a , also a \in \mathbb{R} :

a \cdot \left( \begin{matrix}{\color{red}{x}}\\ {\color{blue}{y}}\end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}{\color{red}{ a \cdot x }}\\ {\color{blue}{a \cdot y}}\end{matrix}\right)

 

a \cdot \left( \begin{matrix}{\color{red}{x}}\\ {\color{blue}{y}} \\ {\color{orange}{z}} \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}{\color{red}{ a \cdot x }}\\ {\color{blue}{a \cdot y}} \\ {\color{orange}{a \cdot z}} \end{matrix}\right)

Ein Beispiel:

4 \cdot \left( \begin{matrix}{\color{red}{2}}\\ {\color{blue}{3}} \\ {\color{orange}{-2}} \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix}{\color{red}{ 4 \cdot 2}}\\ {\color{blue}{4 \cdot 3}} \\ {\color{orange}{4 \cdot (-2)}} \end{matrix}\right)  = \left( \begin{matrix}{\color{red}{ 8}}\\ {\color{blue}{12}} \\ {\color{orange}{-8}} \end{matrix}\right)

 

Was passiert mit dem Vektor bei einer Multiplikation mit einem Skalar?

Betrachten wir die oben dargestellte Situation. Sei a \in \mathbb{R} und \vec{v} ein Vektor. Wir betrachten nun den Ausdruck a \cdot \vec{v} im Vergleich zum Vektor \vec{v} :

1. a > 1 :

Der Vektor a \cdot \vec{v}

• sieht in die gleiche Richtung wie der Vektor \vec{v} und
• ist um den Faktor a länger als \vec{v} .

2. a = -1:

Der Vektor a \cdot \vec{v} ist derselbe wie der Vektor \vec{v} .

 

3. 0 < a <  1 :

Der Vektor a \cdot \vec{v}

• sieht in die gleiche Richtung wie der Vektor \vec{v} und
• ist um den Faktor a kürzer als \vec{v} .

 

4. -1 < a <  0 :

Der Vektor a \cdot \vec{v}

• sieht in die entgegengesetzte Richtung wie der Vektor \vec{v} und
• ist um den Faktor a kürzer als \vec{v} .

5. a < -1:

Der Vektor a \cdot \vec{v}

• sieht in die entgegengesetzte Richtung wie der Vektor \vec{v} und
• ist um den Faktor a länger als \vec{v} .

6. a = -1:

Der Vektor a \cdot \vec{v}

• sieht in die entgegengesetzte Richtung wie der Vektor \vec{v} und
• ist gleich lang wie der Vektor \vec{v} .

Multiplikation eines Vektors mit einem anderen Vektor (Skalarprodukt)

Wird ein Vektor mit einem anderen Vektor multipliziert, so ist das Ergebnis ein Skalar, also eine Zahl. Dabei werden die jeweiligen Komponenten miteinander multipliziert und anschließend addiert. Im konkreten Fall wurden zwei Vektoren aus dem \mathbb{R}^3 miteinander multipliziert.

\left( \begin{matrix}{\color{red}{ 2}}\\ {\color{blue}{3}} \\ {\color{orange}{4}}\end{matrix}\right) \cdot \left( \begin{matrix}{\color{red}{ 5}}\\ {\color{blue}{-2}} \\ {\color{orange}{7}} \end{matrix}\right) = {\color{red}{ 2 \cdot 5}} +  {\color{blue}{3 \cdot (-2)}} + {\color{orange}{4 \cdot 7}} =  {\color{red}{10}} +  {\color{blue}{ (-6)}} + {\color{orange}{28}} = 32

Abschließend ist noch zu erwähnen, dass es keine Divisvion von Vektoren gibt. Wird ein Vektor durch ein Skalar a dividiert, so kann man die auch als eine Multiplikation mit \frac{1}{a} auffassen. Dies kommt häufig vor, wenn es um die Bestimmung des Einheitsvektors geht.